محاسبه ممان اینرسی مقاطع مختلف

ممان اینرسی چیست؟

همانطور که می دانید محاسبه‌ ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح یکی از محاسبات مفهومی و پایه ای  در طراحی سازه است. ما با استفاده از یک فرمول و روش های متفاوت می توانیم ممان اینرسی  مقاطع مختلف از جمله ممان اینرسی مثلث و مستطیل را بدست آوریم.

در این مقاله جامع ابتدا با بیانی ساده مفهوم ممان اینرسی را بیان می کنیم سپس به محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مختلف مانند مستطیل، مثلث و مقاطع مرکب با استفاده از دو روش انتقال و دوران می پردازیم.

ممان اینرسی چیست؟

در سازه، یکی از مهم‌ترین نیروهایی که به هر عضو، مانند تیرها، وارد می‌شود ممان یا لنگر است.

در نتیجه عضو باید به گونه‌ای طراحی شود که در مقابل این لنگرها مقاومت مناسبی داشته باشند.

از این رو، یکی از مهم‌ترین راه‌ کارها برای طراحی اعضای خمشی، افزایش ممان اینرسی مقطع آن‌ها می‌باشد تا در مقابل خمش مقاومت نمایند.

محاسبه ممان اینرسی به کمک فرمول آن

ممان اینرسی یک سطح، از حاصل‌ضرب مساحت‌ المان‌ های کوچک (dA)، در مجذور فاصله‌ی آن‌ ها تا تار خنثی (y²) به دست می‌آید.

در شکل زیر، مشاهده می‌شود که مقطع به المان‌های کوچک تقسیم شده است.

برای محاسبه‌ی ممان اینرسی کل مقطع، مساحت هر المان A، در d² ضرب خواهد شد.

تقسیم شکل به المان‌های دیفرانسیلی (کوچک) جهت محاسبه‌ ممان اینرسی

در ادامه، این فرمول را می‌توان در محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع پرکاربرد استفاده نمود.

به عنوان مثال، ممان اینرسی مستطیل و ممان اینرسی مثلث در بخش بعد محاسبه شده است.

محاسبه‌ ممان اینرسی مستطیل

ممان اینرسی را می‌توان برای محورهای مختلف محاسبه نمود.

در شکل زیر دو محور اصلی مقطع (محورهای x و y) نشان داده شده‌اند.

برای محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل حول محور x به صورت زیر عمل می‌نماییم:

به همین ترتیب در صورتی که ممان اینرسی را حول محور y هم محاسبه نماییم این مقدار برابر با I_yy = (hb³)/12 خواهد بود.

همان‌طور که مشاهده می شود بٌعد ممان اینرسی طول به توان چهار است.

محاسبه‌ ممان اینرسی مثلث

یکی دیگر از شکل‌های پرکاربرد که می‌توان ممان اینرسی آن را محاسبه نمود مثلث است.

در ابتدا ممان اینرسی حول محوری افقی عبوری از مرکز سطح (محور c-c) محاسبه می‌شود:

با استفاده از همین روش و انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف می‌توان ممان اینرسی را محاسبه نمود.

در ادامه ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC محاسبه شده است.

ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC:

با توجه به محاسبات فوق می‌توان به این نتیجه رسید که محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محورهای مختلف از طریق انتگرال‌گیری چندان ساده نبوده و احتیاج به صرف وقت و دقت فراوانی می‌باشد، به همین دلیل بسیاری از مهندسین، ممان اینرسی اشکال اصلی را حول محورهای مهم آن به خاطر می‌سپارند.
در جدول زیر ممان اینرسی برخی اشکال مهم حول محورهای اصلی آن‌ها قابل مشاهده است.

منابع:

محاسبه ممان اینرسی